Gleichungen von Euler und Riemann

ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p \in ℙ}^{} \frac{1}{1 - p^{- s}} = \frac{e^{- i π s} Γ (1 - s)}{2 π i} \int_{C}^{} \frac{z^{s - 1} d z}{e^{z} - 1} (s \in ℂ, Re s > 1)

Hierbei ist $ζ$ die Zeta-Funktion, $ℙ$ die Menge der Primzahlen, $Γ$ die Gammafunktion $Γ (s) = \int_{0}^{∞} t^{s - 1} e^{- t} d t$ und $C$ ein Weg in der komplexen Ebene, der bei $+ ∞$ beginnt, den Ursprung im positiven Sinn einmal umkreist, ohne die Punkte $\pm 2πi$ , $\pm 4πi$ , ..., zu durchlaufen, und schließlich nach $+ ∞$ zurückkehrt.

Vgl. E.C. Titchmarsh & D.R. Heath-Brown: The Theory of the Riemann Zeta-function. Clarendon Press, Oxford 1986, Eqn. (2.4.2), sowie J. Neukirch: Algebraic Number Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1999, §VII.1.